Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). В двух книгах. Книга 1. Алгебра


Под редакцией М. И. СКАНАВИ





                по математике





ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ

УДК 51(076.2)
ББК 22.1я72
     С23



Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.

Авторы
В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский, Т. Н. Маслова,
И. Ф. Орловская, Р. И. Позойский, Г. С. Ряховская, М. И. Сканави, А. М. Суходский, Н. М. Фёдорова

Научное редактирование книги и подготовка ее к изданию выполнены А. М. Суходским




        Сборник задач по математике для поступающих в вузы С23 (с решениями). В 2 кн. Кн. 1. Алгебра / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. — 10-е изд., испр. — Москва : Мир и Образование, 2022. — 624 с.: ил.
        ISBN 978-5-94666-951-1
        ISBN 978-5-94666-946-7 (Книга 1)
        Классический сборник задач под редакцией М. И. Сканави содержит расширенные теоретические сведения справочного характера по курсу алгебры и примеры решения задач с объяснениями применяемых методов. В сборник также вошла дополнительная глава «Начала математического анализа».
        Задачи в сборнике разбиты на три группы по уровню сложности и объединены по типам и методам решения. Ко всем задачам даны ответы, указания или решения.
        Пособие поможет при подготовке к выпускным экзаменам в школе — сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к поступлению в вуз.
        Книга адресована учащимся старших классов, абитуриентам, репетиторам и преподавателям.
УДК 51(076.2)
ББК 22.1я72



ISBN 978-5-94666-951-1
ISBN 978-5-94666-946-7 (Книга 1)
                         © Голубева М. А., Егерева В. С., Зайцев В. В., Луковцева А. К., Лунаци Э. Д., Маслова Т. Н., Сканави А. М., Суходская В. А., Фохт О. Б., 2022
                         © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ


    Настоящее (десятое, исправленное) издание «Сборника задач по математике для поступающих в вузы (с решениями)», как и предыдущие три издания, состоит из двух книг (книга 1 — «Алгебра», книга 2 — «Геометрия»). При этом сохранен почти весь массив задач пятого—девятого изданий и произведена дополнительная корректировка условий и решений всех задач. Сохранены и теоретические сведения справочного характера, примеры решения задач с объяснением применяемых методов, а также разделение задач на три группы (А, Б, В) по их возрастающей трудности в тех главах, где такое разделение было осуществлено и в предыдущих изданиях «Сборника».
    Хотя такое деление имеет более или менее условный характер, авторы полагают, что умение решать задачи из группы А должно определять минимально необходимый уровень подготовки учащихся к вступительным экзаменам в вузы. Успешное решение задач из группы Б определяет более высокое качество усвоения школьной программы. К группе В отнесены задачи повышенной трудности, однако практика решения таких задач полезна для развития и укрепления способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения математической культуры и может быть использована в школе и на факультативных занятиях.
    В каждой главе внутри групп А, Б, В задачи объединены по типам и методам решения. Кроме того, в каждой из групп А, Б и В к наиболее типичным задачам даны полные решения или указания, помещенные в конце книги. Тем самым «Сборник» приобретает новое качество — он становится дополнительным к школьным учебникам пособием для самообучения в процессе подготовки к вступительным экзаменам в вузы.
    В соответствии со школьной программой обучения математике всюду (за исключением гл. 17) рассматриваются только области действительных чисел: действительные корни функций, уравнений, систем уравнений.
    Учитывая интересы учащихся школ, лицеев и гимназий, изучающих математику по расширенной программе, авторы включили в раздел «Дополнение» главы «Комбинаторика и бином Ньютона» (гл. 16) и «Комплексные числа» (гл. 17). Несмотря на то что эти темы не входят в действу

3

Предисловие

ющую программу для поступающих в вузы, они окажутся весьма полезными для тех, кто интересуется математикой и готовится к поступлению в вузы, где к абитуриентам предъявляются повышенные требования по этому предмету. Наконец, «Сборник» завершает раздел «Приложение», который содержит «Вопросы и задачи для самопроверки» и «Варианты билетов для вступительных письменных экзаменов».
    В «Сборнике» приняты следующие обозначения: начало и конец решения задачи отмечаются соответственно знаками □ и В , а вместо слова «Указание» употребляется знак •. При этом для удобства пользования книгой номера условий тех задач, к которым даны решения (указания), обведены рамкой (соответственно овальной линией).
    В настоящем десятом издании «Сборника» исправлены замеченные неточности и опечатки.
    Начиная с третьего издания работа над «Сборником» выполнялась коллективом авторов без участия самого активного соавтора и научного редактора его первого и второго изданий М. И. Сканави, умершего в 1972 г. Специальное редактирование третьего и последующих изданий осуществлял Б. А. Кордемский. Он проделал огромную работу и в процессе подготовки предыдущего (девятого) издания (1999 г.), но, к сожалению, книга вышла в свет уже без него. Мы сохраним светлую память о нем и о других наших коллегах, ушедших из жизни за последние годы, — И. Ф. Орловской, Р. И. Позойском, В. К. Егереве, В. В. Зайцеве.
    Авторы сердечно благодарят учащихся и преподавателей школ, подготовительных курсов и факультетов вузов, рецензентов «Сборника», высказавших критические замечания и добрые советы, предложивших поправки. В особенности авторы признательны Р. И. Борковскому (г. Челябинск), приславшему наибольшее количество пожеланий и замечаний, учтенных при работе над книгой.

Авторы

ГЛАВА 1


ТОЖДЕСТВЕННЫЕ преобразования АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ







ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ


Свойства степеней


     Для любых х и у и любых положительных а и Ъ верны следующие равенства:

а0 = 1;         (1.1)
х у    х+ у          
а ■ а = а ;     (1.2)
х у    х-у      (1-3)
а : а = а ,          
(ах)у = аху;    (1-4)
(аЪ)х = ахЪх;   (1-5)
/Ах  х               
f а ) а         (1-6)
I 1 =         ;      
1Ъ ) Ъх              
а - х = ---.         
х               (1-7)

а

Формулы преобразования многочленов

     Для любых а, Ъ и с верны следующие равенства:

а2 - Ъ2 = (а - Ъ) (а + Ъ);             (1-8)
(а + Ъ)2 = а2 + 2аЪ + Ъ2;              (1-9)
(а - Ъ)2 = а2 - 2аЪ + Ъ2;              (1-Ю)
(а + Ъ)3 = а3 + 3а2Ъ + 3аЪ2 + Ъ3            
или (а + Ъ)3 = а3 + Ъ3 + 3аЪ (а + Ъ); (1-11)
(а - Ъ)3 = а3 - 3а2Ъ + 3аЪ2 - Ъ3            
или (а - Ъ)3 = а3 - Ъ3 - 3аЪ (а - Ъ); (1-12)
а3 + Ъ3 = (а + Ъ) (а2 - аЪ + Ъ2);     (1-13)
а3 - Ъ3 = (а - Ъ) (а2 + аЪ + Ъ2);     (1-14)
ах2 + Ъх + с = а (х - х^ (х- х2),     (1-15)

где т । и ту — корни квадратного трехчлена ах² + Ъх + с -

5

ГЛАВА ^Тождественные преобразования алгебраических выражений

Свойства арифметических корней


  Для любых натуральных п и к, больших 1, и любых неотрицательных а и b верны следующие равенства:

n/3b = п/3 ■ Пь;             (1.16)
/а"  По                      (1.17)
nib = nb(b *0);                    
(По )к = 47 ;                (1.18)
4ЙО = кНО;                   (1.19)
пНО = пк[7;                  (1.20)
(VO)п = а (а > 0);           (1.21)
Па < ПЬ, если 0 < а < b;     (1.22)
Г~2 . . Г а при а > 0,             
х/а = а = (                  (1.2З)
      [- а при а < 0;              
2п/О2п = |а |;               (1.24)
2п+х/- а = -2п+х/а" (а > 0). (1.25)

     Пример 1. Упростить выражение


х⁴ + 2 х² - Зх +1 х² + х/Зх +1

£ 2

+ 2 \ ^27х³ -

     □ Обозначим дробь через А, а выражение в скобках — через 5; тогда заданное

выражение примет вид А + 25. Заметим,что для х/Зх и у27х³ допустимыми

являются только значения х > 0, при которых знаменатель дроби А не равен нулю.
Поэтому и для заданного выражения допустимыми являются только значения х > 0.
Используя формулу (1.9), выделяем в числителе дроби А полный квадрат: х⁴ + 2х² + 1 - Зх = (х² + 1)² - Зх.
Так как х > 0, то в силу равенства (1.21) имеем Зх = (х/Зх)². Тогда полученное выражение с помощью формулы (1.8) можно разложить на множители как разность квадратов:
(х² +1)² - (х/Зх)² = (х² +1 - х/Зх) (х² +1 + х/Зх).
Следовательно,


6

Элементы теории, примеры

а = < ., ²-757t ²+757 ♦ р , х ₊ ,.
х² + -уЗх +1


Далее на основании формулы <1.20) имеем v27х³ = 7<3х)³ = л/Зх, откуда В = >/3х -2. Итак, А + 2В = х² - З3х +1 + 2>/3х -1 = х² + 37.. ■
     Пример 2. Упростить выражение

               4 а² - 4«Ь + 4b² 8«Ь      2Ь
-             -       ₂ +, 0 < а < 2b.
               4 а² + 4ab + 4b² а ⁻⁴Ь    а ⁻²Ь

     □ Имеем 7а ² -4аb + 4b² = 7<а -2b)² = |а - 2b| = 2b - а, аналогично а а² + 4ab + 4b² = |а + 2b| = а + 2b; здесь были использованы формулы <1.9), а шч а а^. а               7 а² - 4аb + 4b² 2b - а _
<1.10) и <1.23). Следовательно,          =-------. Теперь находим
а а ² + 4ab + 4b² ²b ⁺ а


2b - а   8аb       2b    <2b - а) <а - 2b) - 8ab + 2b <а + 2b) а
2b + а а² - 4b² а - 2b              а² - 4b²                   2b - а ’
     Пример 3. Упростить выражение

х^ + 4х - 5 + <х - 5) ^х^ -1
/ <х⁾= ------------’          ,х > 1.
х² - 4х - 5 + <х + 5) у х² -1
     □ Используя формулу <1.15), разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе дроби:


f < х)

<х + 5) <х -1) + <х - 5) 7х ² -1
<х - 5) <х +1) + <х + 5) 7х² -1


Так как х > 1, то в силу соотношения <1.21) имеем х -1 = 7<х -1)² и


х +1 = 7 <х +1)² . Значит,




... ух-1<<х + 5)ух-1 + <х-5)л/х +1)
J <х⁾ = ~1         ]              1    ’
хх +1<<х - 5)vх +1 + <х + 5)у/х -1)


откуда после сокращения получим f <х) =


7

ГЛАВА ^Тождественные преобразования алгебраических выражений

    Пример 4. Не прибегая к приближенным вычислениям, упростить числовое выражение


                        А = (4^/1 + 2х/з - д/13 + 4х/з ) ³


2-Л -1
11

     □ Используя формулы (1.16), (1.8), (1.20) и (1.10), находим:



        1) 4^1 + 2-х/з з!²^ ¹ = 4J. V 11 V

2

12 -1
11

2) 6/13 + 4>/з

2y/3 -1

К ¹¹

= 6(13 + 4^3)

12 - 4у/3 +1

11²

₆ (13 + 4^3) (13 - 473)

11²

= 6!

169 - 48

11²

6

     Окончательно получим 4 = 4-1 = 3. ■
     Пример 5. Проверить справедливость равенства


7'8 + 61445 + V38 - 61445 = 4.


     □ Положим ^38 + 61445 + ^38 - 61445 = х. Возведем в куб обе части этого равенства. Используя формулу (1.11), получаем

38 + 61445 + 38

1445 + 37(38 + 61445)(38-61445) х = х³


или х³ + 3х - 76 = 0. Подстановкой х = 4 убеждаемся в том, что х = 4 является одним из корней полученного кубического уравнения: 64 + 12-76 = 0.
     Преобразуем это кубическое уравнение:
  х³ - 64 = 3 (4 - х); (х - 4) (х² + 4х + 16) + 3 (х - 4) = 0; (х - 4) (х² + 4х + 19) = 0. Но множитель х² + 4х + 19 не имеет действительных корней. Значит, 4 — единственное возможное действительное значение для х, чем и доказано требуемое равенство (поскольку очевидно, что ^38 + л/1445" + ^38 - д/1445" —действительное число). ■
     Пример 6. Проверить справедливость равенства

7+ + 4л/3 ■ 719 - 8х/3

4 - 73'

63 = 2.

8

Условия задач

    □ Рассмотрим равенство


^7 + 4-Уз ■ 719 - 8^3 4 - ч/3

= 2 + -ч/З.

Очевидно, что если оно верно, то верно и заданное равенство. Пусть


а = ⁺ 4^3 V19 8ч/з , ^ _ 2 + ^J. Легко установить, что а > 0 и b > 0. Если
     4 - V3
при этом выполняется равенство а² = b², то а = b. Находим

     2 (7 + 4ч/3) (19 - 8>/3) (7 + 4ч/3) (19 - 8^3) /г
а ==_= / + 4ч/ 3,
(4 - ч/3)² 19 - 8V3


b² = (2 + ТЗ)² = 7 + 4ч/3.
Так как а² = b², то а = b, т. е. заданное равенство справедливо.
     Этот пример можно решить быстрее, если догадаться, что оба подкоренных выражения в условии являются квадратами положительных чисел, а именно: 7 + 4ч/3 = (2 + V3)² и 19 - 8>/з = (4 - ч/3)². Тогда левая часть заданного равен-

          (2 + ч/3)(4 - ч/З) /7₀,/7 /Гт эти
стваесть ¹--------------- ч/3 = 2 + ч/3 - ч/3 = 2и2 = 2. ■
              4 - V3
     Пример 7. Чему равна сумма выражений 4/2Z-t² и 4/8 -t² , если известно, что их разность равна 2 (значение переменной t находить не нужно)?
     □ Согласно условию, д/?4 -1² - 4/8 -1² = 2. Используя формулу
        2 г.2
    , а - b
а + b =------, получим
        а - b
                4/24 -1² + Vs-7² =     = 8. ■
2


Группа А


     Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения пара


метров (1.001—1.124):


          1    1
    ------|7"7771, b² + с² - а² ) а - b - с _
    1.001. а—b±c 1 +------------I:------, а = 0,02, b = - 11,05, с = 1,07.
    ------11 ₊ 1 I       2bc    I   ₐbc а b + с


2

1.002.

2t

⁺ “5—\--+ ⁺ “5—  
t + 4t + 3 t + 5t + 6

(t - 3)² + 12t 2

^ t + 3t + 2

1

9

ГЛАВА ^Тождественные преобразования алгебраических выражений

1.003.

(a - b)² + ab
(а + b)² - ab

а⁵ + b⁵ + a ²b³ + a³b²
(a³ + b³ + a²b + ab²)(a³ -b³)

1.004.

2 A⁻¹
  _  1 — T + T I . _  2 x
⁺ ²--------2~ I ⁽⁵“²x ⁾;
      2 t - t ² |

1 + т + т ²
2 т + т ²

          a - b a² + b² + a
         ______ _______________
^⁰⁰6. —²a ⁻ b ²a ² ⁺ ab ⁻ b²----(b² + b + ab + a).
       (4b⁴ + 4ab² + a ²):(2b² + a)


1 007 2(т⁴ + 4т² -12) + т⁴ + 11т² + 30
    ’         776           .

1.008.

3a + 2aT — т

(3t + a )(a + t)

- 2 +10

aT - 3т ²

1.009.

If T

-2   ,     .7
|    ⁽T ⁺ у⁾

4ту

A²

2
T - ту

у ⁴.

У у ⁻ T



a ²



9 т ² .



7

т ⁴

2 2 T у



1.010.

i+



a ²

                                        2bc


5

                                               33 , a = 1 —, b = 0,625, c = 3,2.
                                                    40

1.011.

X      s 2  .
( t - у) + 4 ту

1 + ут ¹

(

7

7 1
у³ т

1  1
—+ — у T

»

       f 3          2      1 I у²
1.012. I -------—-------------— |: ——-----5-.
       7 2т - у 2т + у 2т - 5у J 4т² ₋ у ²

1.013.

2 ,     11т - 2
т + 2т---------
3т +1

2 т² + т + 2

; т = 7,(3).

3т +1

10